Matematicas 1: 4.3 Diferenciación implícita.

lunes, 23 de noviembre de 2015

4.3 Diferenciación implícita.

Diferenciación implícita.

Recordemos que si

es una función desconocida de

que suponemos derivable, entonces podemos derivar

implícitamente utilizando la regla de la cadena

$\dfrac{d}{dx}y^n=ny^{n-1}\dfrac{dy}{dx}$ ,

y en caso de tener que derivar expresiones del tipo $\dfrac{x^2y^3}{x+y^2}$ , con respecto de

, las reglas de derivación (de un producto, cociente, etc.) se siguen aplicando.

Veamos dos ejemplos más donde apliquemos diferenciación implícita

Encuentra las rectas tangentes y normal a la curva en el punto dado para

1. $\left(x^2+y^2\right)^2=(x-y)^2$ en

2. $x\text{sen}2y=y\text{cos}2x$ en $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$

Entonces, derivando ambos lados de la expresión 1 con respecto a

$\dfrac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)^2=\dfrac{d}{dx}(x-y)^2$

$2\left(x^2+y^2\right)\dfrac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)=2(x-y)\dfrac{d}{dx}(x-y)$

$2\left(x^2+y^2\right)\left(2x+2y\dfrac{dy}{dx}\right)=2(x-y)\left(1-\dfrac{dy}{dx}\right)$

Simplificando y agrupando términos

$2x\left(x^2+y^2\right)+2y\left(x^2+y^2\right)\dfrac{dy}{dx}=x-y-(x-y)\dfrac{dy}{dx}$

$\left(2yx^2+2y^3+x-y\right)\dfrac{dy}{dx}=x-y-2x^3-2xy^2$

de donde obtenemos

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x-y-2x^3-2xy^2}{2yx^2+2y^3+x-y}$

Evaluando la derivada en el punto dado obtenemos la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto

$\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(-2,1)}=\dfrac{-2-1-2(-2)^3-2(-2)(1)^2}{2(1)(-2)^2+2(1)^3-2-1}=\dfrac{17}{7}$

Sustituyendo la pendiente y el punto en la forma punto pendiente de la ecuación de una recta se obtiene la ecuación de la recta tangente en el punto

$y-1=\dfrac{17}{7}(x+2)$

que podemos reescribir como

Para encontrar la pendiente de la recta ortonormal utilizamos el hecho de que dos rectas con pendientes

y

son perpendiculares si $m_1=-\dfrac{1}{m_2}$ Entonces la pendiente de la recta normal es $m=-\dfrac{7}{17}$ y

$y-1=-\dfrac{7}{17}(x+2)$ es la ecuación buscada.

Derivando implícitamente la segunda función

$\dfrac{d}{dx}x\text{sen}2y=\dfrac{d}{dx}y\text{cos}2x$

$\text{sen}2y+2x\text{cos}2y\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dx}\text{cos}2x-2y\text{sen}2x$

Agrupando términos

$(2x\text{cos}2y-\text{cos}2x)\dfrac{dy}{dx}=-(2y\text{sen}2x+\text{sen}2y)$

Despejando la derivada

$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2y\text{sen}2x+\text{sen}2y}{2x\text{cos}2y-\text{cos}2x}$

Evaluando en el punto

$\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{(\pi/4,\pi/2)}=-\dfrac{\pi}{-\frac{\pi}{2}}=2$

La pendiente de la recta normal es entonces $m=-\dfrac{1}{2}$

y las ecuaciones de las rectas tangente y normal son

y $4x+8y-5\pi=0$ , respectivamente

https://www.youtube.com/watch?v=QgmoGd-sszI

https://www.youtube.com/watch?v=uAuXF5B5dOc

https://www.youtube.com/watch?v=lXd9ghgxD54

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