Matematicas 1: 5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.

Extremos relativos y extremos absolutos.

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).

De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Extremos relativos o locales

Sea $f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , sea $x_0 \in A$ y sea $P=\,(x_0, f(x_0))$ un punto perteneciente a la función.

Se dice que

es un máximo local de

si existe un entorno reducido de centro

, en símbolos ${E'(x_0)}$ , donde para todo elemento

de ${E'(x_0)}$ se cumple $f(x) \le f(x_0)$ . Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse

Análogamente se dice que el punto

es un mínimo local de

si existe un entorno reducido de centro

, en símbolos ${E'(x_0)}$ , donde para todo elemento

de ${E'(x_0)}$ se cumple $f(x) \ge f(x_0)$

Extremos absolutos

Sea $f(x): A\sub\mathbb{R} \longmapsto \mathbb {R}$ , sea $x_0 \in A$ y sea $P=\,(x_0, f(x_0))$ un punto perteneciente a la función.

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de

pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de

. Esto es:

$P\,(x_0, f(x_0))$ máximo absoluto de $f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \ge f(x)$ .

Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de

perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de

. Esto es:

$P\,(x_0, f(x_0))$ mínimo absoluto de $f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \le f(x)$ ..

Cálculo de extremos locales

Dada una función suficientemente diferenciable $f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , definida en un intervalo abierto de $\mathbb {R}$ , el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:

1. Se halla la primera derivada de $f \rightarrow f'(x)$

2. Se halla la segunda derivada de $f \rightarrow f''(x)$

3. Se iguala la primera derivada a 0: $f'(x) = 0\,$

4. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: $X = \big\{x_1, x_2,..., x_n | f'(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\}$ .

5. Se halla la imagen de cada $x_i\,$ sustituyendo la variable independiente en la función.

6. Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada $x_i\,$ :

1. Si $f''(x_i) < 0\,$ , se tiene un máximo en el punto $M(x_i, f(x_i))\,$ .

2. Si $f''(x_i) > 0\,$ , se tiene un mínimo en el punto $m(x_i, f(x_i))\,$ .

3. Si $f''(x_i) = 0\,$ , debemos sustituir $x_i\,$ en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que $x_i\,$ no sea nulo, hay que ver qué derivada es: