Matematicas 1

miércoles, 25 de noviembre de 2015

5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico

Teorema valor máximo y mínimo

"Sea un punto crítico de una función que es continua en un intervalo abierto que contiene a . Si es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en , entonces puede clasificarse como sigue."

1. Si

cambia de positiva a negativa en

, entonces

tiene un máximo relativo en

2. Si

cambia de negativa a positiva en

, entonces

tiene un mínimo relativo en

3. Si

es positiva en ambos lados de

o negativa en ambos lados de c, entonces

no es ni un mínimo ni un máximo relativo.

Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico (valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe.

A continuación una guía para construir la gráfica de una función usando la derivada:

1) Halla f’(x) (la derivada de f).

2) Halla los números críticos, igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluir también todos los valores de x donde la derivada no existe (es decir, no está definida).

3) Evalua cada número crítico c en la función f para obtener los puntos críticos.

4) Localiza los puntos hallados en el paso anterior (3) en el plano cartesiano.

5) Determina en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante, usando el signo de la derivada. (Es decir, usa el teorema).

6) Dibuja la gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero.

Tema: Valores Extremos (Máximos y Mínimos Absolutos)

Si f es una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. En este caso, f(c) se conoce como un valor máximo (o máximo absoluto) de f.

Si f(c) es el máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su máximo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más alto de la gráfica.

Análogamente, si existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)<f(x) para todo x en el intervalo [a,b], entonces f(c) es un valor mínimo (o mínimo absoluto) de f.

Si f(c) es el mínimo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su mínimo en c, y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más bajo de la gráfica.

A los valores máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado se les conoce como valores extremos o extremos de la función en el intervalo.

https://www.youtube.com/watch?v=eh-NDkH-hXk

https://www.youtube.com/watch?v=w5PlHw7SaHM

https://www.youtube.com/watch?v=Kut11K0m0OQ

5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.

Extremos relativos y extremos absolutos.

En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).

De manera más general, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Extremos relativos o locales

Sea $f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , sea $x_0 \in A$ y sea $P=\,(x_0, f(x_0))$ un punto perteneciente a la función.

Se dice que

es un máximo local de

si existe un entorno reducido de centro

, en símbolos ${E'(x_0)}$ , donde para todo elemento

de ${E'(x_0)}$ se cumple $f(x) \le f(x_0)$ . Para que esta propiedad posea sentido estricto debe cumplirse

Análogamente se dice que el punto

es un mínimo local de

si existe un entorno reducido de centro

, en símbolos ${E'(x_0)}$ , donde para todo elemento

de ${E'(x_0)}$ se cumple $f(x) \ge f(x_0)$

Extremos absolutos

Sea $f(x): A\sub\mathbb{R} \longmapsto \mathbb {R}$ , sea $x_0 \in A$ y sea $P=\,(x_0, f(x_0))$ un punto perteneciente a la función.

Se dice que P es un máximo absoluto de f si, para todo x distinto de

pertenenciente al subconjunto A, su imagen es menor o igual que la de

. Esto es:

$P\,(x_0, f(x_0))$ máximo absoluto de $f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \ge f(x)$ .

Análogamente, P es un mínimo absoluto de f si, para todo x distinto de

perteneciente al subconjunto A, su imagen es mayor o igual que la de

. Esto es:

$P\,(x_0, f(x_0))$ mínimo absoluto de $f \iff \forall x \ne x_0, x \in A, f(x_0) \le f(x)$ ..

Cálculo de extremos locales

Dada una función suficientemente diferenciable $f(x): A\sub\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb {R}$ , definida en un intervalo abierto de $\mathbb {R}$ , el procedimiento para hallar los extremos de esta función es muy sencillo:

1. Se halla la primera derivada de $f \rightarrow f'(x)$

2. Se halla la segunda derivada de $f \rightarrow f''(x)$

3. Se iguala la primera derivada a 0: $f'(x) = 0\,$

4. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: $X = \big\{x_1, x_2,..., x_n | f'(x_i)= 0 \quad \forall i = 1,2,...,n \big\}$ .

5. Se halla la imagen de cada $x_i\,$ sustituyendo la variable independiente en la función.

6. Ahora, en la segunda derivada, se sustituye cada $x_i\,$ :

1. Si $f''(x_i) < 0\,$ , se tiene un máximo en el punto $M(x_i, f(x_i))\,$ .

2. Si $f''(x_i) > 0\,$ , se tiene un mínimo en el punto $m(x_i, f(x_i))\,$ .

3. Si $f''(x_i) = 0\,$ , debemos sustituir $x_i\,$ en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que $x_i\,$ no sea nulo, hay que ver qué derivada es: