Optimización de funciones
económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y
beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio.
Maximización de funciones de ingreso
La maximización de utilidades es la
piedra angular del análisis económico y es crucial para la operación de
cualquier negocio hoy en día. El problema principal es calcular la
cantidad correcta de bienes para producir al precio adecuado dadas ciertas
condiciones en el mercado. La técnica de optimización del cálculo
permite hacer lo anterior de manera muy sencilla.
Instrucciones
Define la función de la utilidad
1.
1
Escribe la función de la utilidad y la restricción
presupuestaria. La función de utilidad, U(x,y) es una función con respecto a
dos bienes, 'x' y 'y'. El propósito de la maximización de utilidades es
calcular cuánto de cada uno de estos bienes debe comprarse.
2.
2
Escribe la restricción presupuestaria. Esta es la
cantidad que costará comprar 'x' y 'y', por lo que depende de los precios Px y
Py. Una restricción presupuestaria típica se verá como Px * x + Py * y ≤ I, en
donde I son tus ingresos. En otras palabras, la restricción presupuestaria es
el precio de 'x' veces la cantidad de 'x' sumado al precio de 'y' veces la
cantidad de 'y', que no puede ser mayor a tus ingresos totales.
1. 3
Combina las dos ecuaciones para formar la expresión
de Lagrange, que puede ser escrita como L = U(x,y) + λ[I - Px*x - Py*y], en
donde λ es llamado el multiplicador de Lagrange. Todos los pasos del cálculo
serán realizados en la función de Lagrange.
Obtener las derivadas
1.
1
Obtén las derivadas de la función de Lagrange con
respecto a 'x' e iguala la ecuación resultante a 0. Esto dará como resultado
dL/dx = MUx - λ * Px = 0. En este caso MUx es la "utilidad marginal con respecto a
'x'", que es lo mismo que la derivada de U(x,y) con respecto a 'x'.
2.
2
Obtén la derivada de la función de Lagrange con
respecto a 'y' e iguala la ecuación resultante a 0. Esto te dará como resultado
dL/dy = MUy - λ * Py = 0. En este caso MUy es la "utilidad marginal con
respecto a 'y'", que es lo mismo que la derivada de U(x,y) con respecto a
'y'.
3.
3
Obtén la derivada de la función de Lagrange con
respecto a λ e iguala la ecuación resultante a 0. Esto dará como resultado I -
Px * x - Py * y = 0, que es justamente la restricción presupuestaria.
Resuelve el sistema de ecuaciones
1.
1
Resuelve para 'x' como función de 'y'. Esto puede
lograrse escribiendo MUx = λ * Px y MUy = λ * Py, que puede derivarse
fácilmente de la parte anterior. Dividiendo y cancelando las λs obtienes como
resultado MUx/MUy = Px/Py. El valor del lado izquierdo es la tasa marginal de
sustitución, y el valor del lado derecho es la pendiente de la curva de
indiferencia. Dependiendo de la función de utilidad particular dada en este
problema, usa estos valores para escribir x = f(x).
2.
2
Sustituye x = f(y) en la restricción
presupuestaria. Esto dará como resultado I - Px * f(y) - Py * y = 0. Dado que
esta es una ecuación solamente en 'y', resuelve para 'y'.
3.
3
Finalmente resuelve para 'x' usando el valor de 'y'
que calculaste. Esto te da la ecuación I - Px * x - Py * y. Dado que Px, Py, y
'y' son valores conocidos, resuelve para 'x'. Los valores de 'x' y 'y' que has
calculado son los valores maximizados de utilidad para los dos bienes.
Utilidad y beneficios
El beneficio
económico (también denominado utilidades) es un término utilizado para
designar la ganancia que se obtiene de un proceso o actividad
económica. Es más bien impreciso, dado que incluye el resultado positivo de
esas actividades medido tanto en forma material o "real" como monetaria
o nominal. (Ver más abajo). Consecuentemente, algunos diferencian entre
beneficios y ganancia.
Desde un punto de
vista general el beneficio económico es un indicador de la creación
de riqueza o generación de mercaderías o valor en
la economía de una nación. Eso no es siempre el caso para los individuos (ver
más abajo).
El beneficio
generalmente se calcula como los ingresos totales menos
los costes totales de producción y distribución.
Minimización de funciones de costos y costos promedio.
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