Prueba de la primera derivada para la determinación
de máximos y mínimos.
Se llama Criterio de la
primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos
relativos que pueden existir en
una función mediante
el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un
intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico 
.
.
Teorema valor máximo y mínimo
"Sea un
punto crítico de una función 
que
es continua en un intervalo abierto 
que
contiene a .
Si es
derivable en el intervalo, excepto posiblemente en ,
entonces 
puede
clasificarse como sigue."
un
punto crítico de una función que
es continua en un intervalo abierto que
contiene a .
Si es
derivable en el intervalo, excepto posiblemente en ,
entonces puede
clasificarse como sigue."
1.
Si '
cambia de positiva
a negativa en , entonces tiene un máximo
relativo en 
.
' cambia de positiva
a negativa en , entonces tiene un máximo
relativo en .
2.
Si ' cambia de negativa
a positiva en , entonces tiene un mínimo
relativo en .
' cambia de negativa
a positiva en , entonces tiene un mínimo
relativo en .
3.
Si ' es positiva en
ambos lados de o negativa en ambos
lados de c, entonces no es ni un
mínimo ni un máximo relativo.
' es positiva en
ambos lados de o negativa en ambos
lados de c, entonces no es ni un
mínimo ni un máximo relativo.
Definición: Si un número c está en el dominio
de una función f, c se conoce como un número crítico
(valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe.
A continuación
una guía para construir la gráfica de una función
usando la derivada:
1) Halla f’(x) (la
derivada de f).
2) Halla los números
críticos, igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluir también todos
los valores de x donde la derivada no existe (es decir, no está definida).
3) Evalua cada número
crítico c en la función f para obtener los puntos
críticos.
4) Localiza los puntos
hallados en el paso anterior (3) en el plano cartesiano.
5) Determina en qué
intervalo la función es creciente, decreciente o constante, usando el signo de
la derivada. (Es decir, usa el teorema).
6) Dibuja la gráfica, de
manera que sea creciente en el intervalo donde la derivada es positiva,
decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa y horizontal en el
intervalo donde la derivada es igual a cero.
Tema: Valores Extremos
(Máximos y Mínimos Absolutos)
Si f es
una función continua en el intervalo [a,b], entonces existe un número c en
el intervalo [a,b] tal que f(c)>f(x) para todo x en el intervalo [a,b]. En
este caso, f(c) se conoce como un valor máximo (o
máximo absoluto) de f.
Si f(c) es el
máximo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su máximo en c,
y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más alto
de la gráfica.
Análogamente, si
existe un número c en el intervalo [a,b] tal que f(c)<f(x)
para todo x en el intervalo [a,b], entonces f(c) es un valor mínimo (o
mínimo absoluto) de f.
Si f(c) es el
mínimo de f en el intervalo [a,b] se dice que f alcanza su mínimo en c,
y en ese caso, el punto (c,f(c)) es el punto más bajo
de la gráfica.
A los valores
máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado se les conoce
como valores extremos o extremos de la
función en el intervalo.
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