Diferenciación
logarítmica.
En el ámbito de las matemáticas, específicamente en
el cálculo y el análisis complejo, la derivada logarítmica de
una función f queda definida por la fórmula
donde f ′ es
la derivada de f.
Cuando f es una
función f(x) de una variable real x, y toma
valores reales, estrictamente positivos, esta es entonces la
fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del logaritmo
natural de f, como se deduce aplicando directamente
la regla de la cadena.
Propiedades básicas
Muchas propiedades del logaritmo real
también son válidas para la derivada logarítmica, aún cuando la función no toma
valores de reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es
la suma de los logaritmos de los factores, se tiene que
Por lo que para funciones reales
positivas, la derivada logarítmica de un producto es la suma de la derivada
logarítmica de los factores. También es posible aplicar la regla de
Leibniz para la derivada del producto y así obtener 
Por lo tanto, es cierto que
para toda función que la derivada logarítmica de un producto
es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas
están definidas).
Por lo tanto, es cierto que
para toda función que la derivada logarítmica de un producto
es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas
están definidas).
En forma similar (de hecho es una consecuencia),
la derivada logarítmica de de la función recíproca de una función es el negado
de la derivada logarítmica de la función:
en la misma forma que el logaritmo de
la recíproca de un número real positivo es la negación del logaritmo del
número.
En forma general, la derivada
logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del
dividendo y del divisor:
en la misma forma que el logaritmo de
un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.
Con respecto a la derivada
logarítmica de una potencia (con exponente real constante), la misma es el
producto del exponente y de la derivada logarítmica de la base:
en forma análoga a que el logaritmo
de una potencia es el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.
En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos poseen
una regla del producto, una regla recíproca, una regla del
cociente, y una regla de la potencia (comparar con la lista de
identidades logarítmicas); cada par de reglas se encuentran relacionadas
mediante la derivada logarítmica.
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