Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la
segunda derivada.
La segunda
derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento
de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:
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Definición de concavidad
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Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un
intervalo A,
 ,
si  es creciente
sobre A. Si es
decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es
cóncava hacia abajo. |
Note que es la
función derivada 
la que debe ser
creciente o decreciente en el intervalo A.
En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo![$]a,b[$](file:///C:/Users/pau/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif)
y cóncava
hacia abajo en el intervalo ![$]b,c[$](file:///C:/Users/pau/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.gif)
la que debe ser
creciente o decreciente en el intervalo A.En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo
y cóncava
hacia abajo en el intervalo
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Teorema 5
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Si f es una función tal
que
 cuando ![$x \in
]a,b[$](file:///C:/Users/pau/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.gif){kind=small} , entonces
la gráfica de fes cóncava hacia arriba sobre .Demostración: Si y
como  ,
entonces se tiene que es creciente
sobre por lo que
de acuerdo con la definición de concavidad de una función, se obtiene
que f es cóncava hacia arriba sobre . |
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Teorema 6
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Si f es una función tal
que
 cuando ,
entonces la gráfica de fes cóncava hacia abajo sobre .Demostración: De la hipótesis: , y
como  ,
se obtiene que es
decreciente sobre por lo que
según la definición dada sobre concavidad, la gráfica de la función f es
cóncava hacia abajo sobre . |
Punto de inflexión
f presenta un punto de inflexión en x=a si existe δ > 0 /
para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) > f'(a)(x-a) +
f(a) y para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) <
f'(a)(x-a) + f(a) (o viceversa: f menor a la izquierda y mayor a la
derecha).
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En el semientorno izquierdo de a, f está por encima de la tangente a
f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por debajo de la
tangente.
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En el semientorno izquierdo de a, f está por debajo de la tangente a
f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por encima de la
tangente.
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pauliana soy javier mi comentario es que cuando habro tu blog inicia en la unidad 5 y pues te sugiero que le des un orden que inicie con la unidad uno. es mi cometario
ResponderBorrarbuen trabajo pau, pero como hiciste tu trabajo por entradas pues no tiene orden, pero hiciste buen blog
ResponderBorrarBuen blog, se ve bien el acomodo de toda la informacion.
ResponderBorraresta muy bien tu blog me gusta mucho
ResponderBorrarbuen blog solo te faltaron imagenes!
ResponderBorrarpaulina muy buen blog, pero si deverias ponerle un orden pero me gusto mucho
ResponderBorrarperfecto paulina, muy estructurado, muy bien !!
ResponderBorrarmuy bien mija excelente información.
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